拥挤无时无刻不在，拥挤无处不在。连续几个小时甚至几天的交通拥堵不仅出现在各种影视或文学作品中，在现实生活中也是司空见惯的。当实际车辆数量超过道路可以承载的车辆数量上限时，就会发生拥堵。随着城市化进程的加快，城市道路网承载能力有限与交通需求快速增长的矛盾日益突出，道路交通拥堵导致的通勤时间过长已经成为大城市居民和政府面临的关键问题。在这种语境下，识别、描述和控制交通拥堵这种复杂的时空现象已经成为研究的热门领域(图1)。城市道路构成了相互连接的二维甚至三维网络，行人和各种车辆的行为具有高度的独立性、利己性和不可预测性，出发点-目的地(Origin-destination)组合的多样性(图1)，使得我们能够从动力学的交通拥堵过程中广泛使用GPS指标。
图1交通拥堵研究关键字共生网络1
交通拥堵动力学致力于在大型城市道路交通网络中建模交通拥堵的产生、时空传播和消除。具体来说，交通拥堵动力学关注一个城市交通网络的宏观基础图(MacroscopicFundamentalDiagram、MFD)。这个概念最早是由Daganzo和Geroliminis2提出的，认为MFD描述了交通网络中交通密度和交通流量的关系，并在许多交通网络中进行了观察和验证。MFD是在网络层面建立的，由具体单个链接上的交通流量、交通密度和速度组成的基础图(FundamentalDiagram、FD)不同。然而，获取各节点和链接上的基础图对MFD的构建仍然有意义，而各FD之间的时空异质性可能是解开MFD之谜的钥匙。当然，当然，当我们认为当交通拥堵速度小于交通拥堵速度时，交通拥堵速度会完全降低到零。

第二，建立拥堵的交通模型
交通系统是典型的多体复杂系统。在其他领域(生态学、流行病学、统计物理等)问题上采用的手段，交通流的建模也可以在各种尺度和不同的概念框架下进行，本文介绍三种典型的交通堵塞模型。
1.微尺寸模型。
微尺度模型是以车辆本身为单位构建的模型。在这些模型中，城市交通网被认为是远离平衡的多粒子系统。
1.1跟踪模型。
跟踪模型(Car-followingmodel)是一种典型的微观模型。1961年，Newell4提出，在同一车道上，一辆车的运动状态只取决于同一方向的车辆(也称为leadingcar)，与其他车辆无关。如果这辆车和它的前车分别用车辆j和j+1表示，我们可以用以下微分方程表示j车的运动状态:
这个函数被Newell称为最佳速度(OptimalVelocity)，所以这个模型也被称为最佳速度模型。说明汽车的运动状态与两辆车之间的距离有关，所以显然应该是单调的递增函数，比如Bando等人提出的可以是双曲正切函数的形式5。跟踪模型非常简单，便于理论分析和实验模拟。但过分简化的假设使这种模型不能准确地描述真实路网中的复杂情况。最为直观的是，如果汽车因某种原因突然减速，那么汽车很可能不能在时间内做出反应，也不能避免碰撞。另外，基于个人模型和预测大型交通网络的动态之间存在很大差距。因此，这种模型也在不断的修改和扩展，如考虑多种不同的车型6，引入随机性7等。
1.2元胞自动机模型。
元胞自动机(CellularAutomata,CA)是模拟多粒物理系统时空演变的有力手段。实际上，最早使用元胞自动机进行交通模拟的是元胞自动机的创始人之一，著名的数学物理学家和企业家Wolfram8。CA模型中最基本的假设是：如果一辆车前面没有被其他车辆占据，那么它将在下一个时刻移动到这个位置。整个系统中，所有车辆的位置都是按照这个规则同步更新的。具体来说，它的动力模型可以通过以下方式表示9：
不难证明，在一定条件下，这种CA模型与上述跟驰模型相当。
和驰模型一样，CA模型也面临着过度简化的缺陷，但仍被视为大规模模模拟现实交通流的先驱。近几年来，CA模型也有了很大的改进，比如2018年，Olmos等10基于改进的CA模型和真实的道路网格，动态地描绘了交通网络在高峰时期的脆弱性。本文中，每辆车都从交叉口出发，并根据路由策略进入网络。十字路口，车辆的速度会降低，并动态地与前车保持距离。这样，作者就可以从微观上模拟交通网络在自由流动、交通堵塞和网络崩溃之间的切换(图3)。
图3使用CA模型模拟波士顿的运输动态，从左到右显示了整个运输网络从自由流向运输网络崩溃的过程。
自然模型假设和车辆行程逻辑是任何微型模型的开发者和用户都必须仔细考虑的问题，也是最有可能受到批评的问题。然而，微型模型的存在使得大规模模模拟城市交通网络成为可能。由于分布式计算的快速发展和模型的不断细化，通过微型模拟还原MFD可能成为相关领域研究的主流方法。此外，类似算法已广泛应用于各种模拟软件和游戏，如基于Unity引擎开发的模拟商业游戏《城市:天际线》(Cities:Skylines)。此外，类似算法已广泛应用于各种模拟软件和游戏，如基于Unity引擎开发的模拟商业游戏《城市:天际线》(Cities:Skylines)，特别是近年来提出的以所谓的智慧城市为目标的研究领域。
    2.宏观尺度模型(MacroscopicModels)
宏观交通模型试图从整体角度描述交通流量和车辆密度的时空分布，而不关心特定车辆或行人的行为逻辑。对于这种模型，微分方程自然成为最好的描述手段。宏观交通模型中最常见的是流体模型。城市交通系统的流体模型认为整个系统是一个一维可压缩的流场，车辆的行驶过程可以类似于流体的传播过程。对于交通系统中的每个位置和时间点，流体力学中的连续方程告诉我们，交通密度和交通流量之间存在以下关系:
单靠这个方程当然不足以同时解决流量和密度这两个变量，而且必须对它施加其他限制。例如提出该模型的Lighthill和Whitnam认为，流量应该由基本图FD和一个小的扩散项决定等11。之后，流体模型也不断细化，比如考虑从匝道到主干道的交通流量12，将模型扩展到二维道路网等13。目前使用的流体模型也主要基于它的二维模型。从流体模型出发，很容易得到MFD，也很容易从方程本身出发，分析它的稳定性。但由于假定了一种适用于大范围的微分方程(组)，所以目前使用的流体模型自然远不如各种微观尺度的模型。另外，大部分流体模型仅限于二维网格而非网络。前一种网格的节点与后一种网格的节点被完全限制，而忽视了城市交通路网格结构的各种差异。
3.中等尺度模型——交流微观与宏观桥梁。
中等尺度模型，或介观模型(Mesoscalemodels)，其描述的主要对象不同于微观模型中的每个车辆，也不同于宏观模型中整个交通系统每个点的状态，而是网络中的每个基本元素，如道路、交叉路口或某些车辆的集群。这种模型的目的不在于准确描述系统中每个车辆通过每个道路或交叉路口时的速度，而在于重现网络的整体特征，如车辆速度的分布、拥堵时空的演变等。这种模型在描述拥堵时的MFD是必要的。中等尺度模型最早可以追溯到20世纪70-90年代提出的各种气动力学(Gas-Kinetic)模型14。这些模型起源于流体模型，同样认为城市交通网络是由物理定律支配的系统。但是，如果我们将建模的对象限制在网络结构内部，如网络节点或连边，如果网络节点与其他两个交叉路线之间的交叉路线之间的交叉路模型(Gasininetic)模型(Gas-Kinetinetic)，如果两个交叉路线之间的交叉路线之间的交叉路间的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线的交叉路线交叉路线的交叉路线交叉路线的交叉路线的交叉路线交叉路交叉路线交叉路线交叉路交叉路交叉路交叉路线交叉路线交叉路线交叉路交叉路交叉路线交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉路交叉
3.1传染病模型。
交通拥堵传播的过程类比传染病在人群中的传播过程是一个非常自然的想法。早在2004年，就有学者认为拥堵的传播可以用互联网上的易感者-感染者-康复者(SIR)模型来描述15，而2020年Seberi等人的一篇文章为该模型提供了经验证据16。在这里，拥堵传播网络中的节点是现实网络中的十字路口，节点之间的连接是十字路口之间的道路。这个模型假设对于一个已经处于拥堵状态的节点，相邻的节点可能会成为下一时刻传染的目标，拥堵的节点会在一段时间后恢复正常。这里所谓拥堵状态，就是指某条路上车辆瞬时速度与观察到的最大速度之比小于某个阈值。Seberi等人提出的传染病模型的基本方程如下:
在这些因素中，分别描述了处于自由流动(Freetraffic)、拥挤(Congested)和恢复(Recovered)状态的道路比例。作者对六个不同城市拥堵的传播和消散动态进行了调查，并对模型参数进行了估计，其模拟结果与实际结果相符(图5)。另外，作者还通过建立空模型(Null-model)来调查拥堵的来源，认为某条道路拥堵的发生取决于上游拥堵集群的形成。
图5使用SIR传染病模型描述不同城市的道路交通拥堵16。a:在六个不同城市，道路拥堵传播的基本再生数(BasicReproductionNumber)；b:不同城市的参数拟合结果。蓝色实线表示模拟结果，白色圆圈是观察数据；cd:不同城市道路的自由流动和拥堵恢复随时间变化。
传染病模型的特点是相对简单高效。同时，它整合了微观和宏观模型的优势，不仅可以检查某条特定道路上的交通动态，还可以识别整体交通拥堵的外观。然而，将交通拥堵与SIR传染病模型进行全面比较可能是一个不严格的假设。例如，在模型中，假设一个拥堵的交叉口或道路将自行恢复到不再拥堵的状态，这可能与随时可能在真实交通网络中爆发的拥堵相矛盾。当然，作者在文章中指出，如果一个环节从拥堵中恢复，直到下一个高峰才会再次拥堵，这可能不是没有道理的。但是可能需要引入更多的状态来改善模型，并考虑交通系统可能存在的周期性。
3.2反应-扩散模型。
反应-扩散(Reaction-Diffusion)模型已经成为物理学的典型模型。基于上述两个中等尺度模型的基本原则，也可以应用于城市交通网络。顾名思义，反应-扩散模型方程由一个反应项和一个扩散项组成，分别对应上述第二个和第一个原则。和传染病模型一样，反应-扩散模型也关注某条路上的平均速度u_i(t)，拥堵状态被定义为平均速度小于某个阈值。平均速度的具体变化规律是Bellocchi和Geroliminis在2020年提出的【17】，可以写为:
根据交通拥堵的两个传播原则和实际数据的特点，可以限制和细化反应项目、扩散项目和噪声项目的具体形式。作者在给出了具体的函数形式，并使用深圳出租车实时GPS数据进行了参数校正。结果表明，使用反应-扩散模型可以以更高的精度恢复真实的交通拥堵图像(图6)。此外，作者还研究了拥堵集群(一组平均速度低于阈值且相互连接的道路集合)的分布和准拥堵期(quasi-congested，介于拥堵和自由流动期)的性质。值得注意的是，在这项研究中，作者将道路(链接)定义为交通网络中的节点，将交叉路口定义为网络中的连接。这个定义似乎不符合我们对真实交通网络的直观印象(与上述SIR模型的定义正好相反)，但可以使我们将道路上的平均速度(链接)定义为交通网络中的节点，而将交通网络中的交通网络中的交通网络定义定义定义定义为MFD中的MFD，而将交通网络中的交通网络中的交通网络中的交通网络中的交通网络定义定义定义定义定义为MFD中的MFD中的MFD中的MFD中的MFD。
图6在深圳的道路网上使用反应-扩散模型模拟出租车交通流量。左边：把城市道路网分成三种颜色，分别用三种颜色来表示；右边：不同地区的车流速度(右上)和整个网络的平均速度(右下)随时间变化，模拟数据和真实数据分别用虚线和实线表示。